Problemas con vectores [MAT]

Hace unos días abrí un hilo con ese título que acabé eliminando poco después. Así que reabro, sin intención de volver a cerrar y poder concentrar en un solo hilo todo problema relacionado con vectores con que nos topemos...

Esta vez el problema es el siguiente:
Tenemos una pirámide ABCDE, de las que conocemos los puntos A = (2,3,4), B = (-2,1,5), C = (4,1,-2), y E = (6,8,0). Hay que encontrar el centro de la base, O, sabiendo que es un paralelogramo. Sin embargo no sabemos cuál de los vértices que se nos da no forma parte de la base, ni si por ejemplo A y B son vértices contiguos...
¿Cómo lo atacaríais?

Ya puestos a pedir...si la solución puede ser pulcra mejor que mejor.
Quiero decir que yo cansado ya, por el sueño, de intentar encontrar el camino correcto he empezado a hacer trampas con el Excel tal como calcular el módulo de todos los vectores posibles entre los puntos dados para encontrar, por ejemplo, que EA y CE tienen el mismo. Cosas de este tipo no "se" valen

Dibujalo.

Agua escribió:

Dibujalo.

Ya lo resolví...pero no pulcramente.
Dibujarlo tampoco habría sido una solución pulcra.

PD: Tengo que salir, cuando vuelva explico la solución guarra.

Ya te daré yo, la no guarra.

Bueno ya.
Vamos por partes:

1 - Recordemos el enunciado:

Citación :

Tenemos una pirámide ABCDE, de las que conocemos los puntos A = (2,3,4), B = (-2,1,5), C = (4,1,-2), y E = (6,8,0). Hay que encontrar el centro de la base, O, sabiendo que es un paralelogramo.

2 - Modo guarro de abordar el problema (con argumentos incorrectos incluidos*):
a) Cogemos el Excel y a lo bruto calculamos los módulos de todas las combinaciones posibles de vectores formados por dos puntos diferentes de los cuatro dados. Nos resulta lo que sigue:

AB -4 -2 1 4,583
AC 2 -2 -6 6,633
AE 4 5 -4 7,550
BA 4 2 -1 4,583
BC 6 0 -7 9,220
BE 8 7 -5 11,747
CA -2 2 6 6,633
CB -6 0 7 9,220
CE 2 7 2 7,550
EA -4 -5 4 7,550
EB -8 -7 5 11,747
EC -2 -7 -2 7,550

b) Nos ponemos a elucubrar cualitativamente en vez de sacar la solución directamente. Las elucubraciones son las siguientes:
- Vemos que el punto A dista de E lo mismo que C.
- Es posible que A, E y C estén todos en la base o bien que uno de estos puntos sea el ápice.
- Si todos están en la base, como ésta es un paralelogramo, los lados que unen el vértice de la base que falta con los vértices contiguos medirán lo mismo que [AE] y [CE]. Además, al ser la base un rombo, debería haber más módulos iguales que unieran el ápice con los otros vértices, o sea que sea B parte de la base o el ápice, debería haber más segmentos que tuvieran a B como extremo cuya longitud fuere igual a otros. [*Esto es lo más incorrecto de todo, porque en este paso supuse que la pirámide era recta, por eso se invalida el resto de la solución en casos de pirámides oblicuas.]
- Como la base no es equilátera (eso viene de la incorrección anterior...), si hay dos aristas contiguas que miden lo mismo, el vértice formado por estas al juntarse debe ser el ápice.
- De esto deducimos (incorrectamente) que A, B y C forman parte de la base, por lo que el centro de la base O se encuentra simplemente colocando en el punto A (por ejemplo) el vector formado por la semisuma de las componentes de [AB] y [BC].
- De esto nos resulta O = (3,2,1)...que es la misma solución que da el libro, pero por pura churra. Es decir que está aparentemente resuelto el problema pero no realmente

3 - Ahora toca esperar que alguien de la solución buena...

Agua escribió:

Ya te daré yo, la no guarra.

Lo prometido es deuda...

Para empezar... no he hecho el problema.

Ahora, la lógica lo que me dicta es:

1.- lo primero que hay que pensar es que tenemos (nos dan), cuatro puntos, y uno es incógnita. El D.

2.- hay que saber lo que piden. Y en este caso si no estoy confundida, nos piden el baricentro de la base.

¿Cómo se puede hacer?.

Lo que me viene en este momento a la mente.

Sistema: en el que hay que resolver tres incógnitas. (Xd, Yd, Zd).

Juega con los vectores, o con rectas... con los cuatro puntos que te dan.

Obtienes D.

Luego, fórmula al canto y obtienes el baricentro.

Yo apuesto a que ABCD es la base, porque asi es como se suelen nombrar si no recuerdo mal.

Podria estar equivocada con el planteamiento, hace mucho que no trabajo con esto, pero a voz de pronto creo que es lo más lógico.

Repito que no me he puesto con ello, para nada.

Llevo toda la mañana pensando en lo del baricentro.

¿Se llama baricentro en un paralelogramo?, en un triángulo, fijo. Joer, ya no lo recuerdo.

Estaba pensando en triángulos y se me ha ido la palabra.