juegos, acertijos y otros quebraderos de cabeza

No se puede entender la solución final del acertijo si no se entiende lo siguiente:
 
- “El mecanismo por el que salen de la isla los isleños con ojos azules”.
- “Qué es lo que desencadena que se ponga en marcha ese mecanismo”, es decir, las condiciones necesarias para que los isleños con ojos azules puedan deducir su color de ojos.
- Que las dos cuestiones anteriores son cuestiones distintas.
- Que los isleños con ojos azules no pueden deducir su propio color de ojos hasta que “todos los isleños puedan asegurar que todos los isleños saben que al menos hay un isleño con ojos azules en la isla”, como veremos a continuación.
 
A partir del chivatazo, en todos los casos, ocurren dos cuestiones que no se daban antes del chivatazo:
 
1. Todos los isleños saben que al menos hay un isleño con ojos azules en la isla.
2. Todos los isleños pueden asegurar que todos los isleños saben que al menos hay un isleño con ojos azules.
 
Hay que entender que si se da la cuestión 2, la cuestión 1 se da siempre.
 
En el siguiente CASO 2 se puede comprobar, perfectamente, que esta cuestión primordial (todos los isleños pueden asegurar que todos los isleños saben que al menos hay un isleño con ojos azules) es la que desata tras el chivatazo, que habiendo dos isleños con ojos azules en la isla, los dos isleños salgan de la isla.
 
Vamos a comprobar, caso por caso, en función de cuántos isleños con ojos azules hay en la isla, qué es lo que sabe cada isleño antes del chivatazo y después del chivatazo, y por qué los isleños con ojos azules no salen de la isla antes del chivatazo y por qué sí salen después del chivatazo.
 
El siguiente análisis, caso por caso, es el que hacen todos los isleños, así que todos los isleños son conocedores de lo mismo.
 
CASO 1: UN ISLEÑO (A) CON OJOS AZULES.
 
Antes del chivatazo:
 
A no sabe el color de sus propios ojos.
A no sabe que hay un isleño con ojos azules.
A no puede asegurar que todos los isleños saben que al menos hay un isleño con ojos azules (ni él mismo lo sabe, ni sabe si lo saben los demás isleños).
El resto de isleños sabe que hay un isleño con ojos azules.
El resto de isleños sabe que A no sabe el color de sus propios ojos.
El resto de isleños sabe que A no puede asegurar que todos los isleños saben que hay isleños con ojos azules (el propio A no puede asegurar ni que él mismo lo sabe ni que el resto de isleños lo sabe).
El resto de isleños no pueden asegurar que A sabe que al menos hay un isleño con ojos azules.
 
Es decir: Todos los isleños no pueden asegurar que todos los isleños saben que hay al menos un isleño con ojos azules.
 
Como ocurre lo anterior sucede lo siguiente:
 
Ningún isleño puede deducir su color de ojos.
A no sale de la isla.
Ningún isleño espera que A salga de la isla.
Todos los isleños saben que no saldrá ningún isleño de la isla en ninguna circunstancia.
 
El chivatazo:
 
Pone en conocimiento de A que al menos hay un isleño con ojos azules (A era el único isleño que no lo sabía).
Pone en conocimiento del resto de isleños que A ya sabe que al menos hay un isleño con ojos azules.
 
Con el chivatazo ahora todos los isleños pueden asegurar que todos los isleños saben que al menos hay un isleño con ojos azules.
 
Después del chivatazo:
 
Todos los isleños siguen viendo la misma cantidad de isleños con ojos azules.
A sabe que hay al menos un isleño con ojos azules y que es él mismo.
El resto de isleños puede asegurar que A sabe que al menos hay un isleño con ojos azules.
 
Todos los isleños pueden asegurar que todos los isleños saben que al menos hay un isleño con ojos azules.
 
Como ocurre lo anterior sucede lo siguiente:
 
El isleño con ojos azules (A) sale de la isla al día siguiente del chivatazo.
El resto de isleños esperan que A salga de la isla el primer día siguiente al chivatazo.
Al salir A, todo el resto de isleños deduce que el color de sus propios ojos es marrón.
 
CASO 2: DOS ISLEÑOS (A, B) CON OJOS AZULES.
 
Nótese que en este caso todos los isleños saben lo que les dijo el visitante: que al menos había un isleño con ojos azules (A lo sabe porque ve a B, B lo sabe porque ve a A, y el resto de isleños lo saben porque ven a A y B.

Antes del chivatazo:

A y B sólo ven un isleño con ojos azules.
A no puede asegurar que B sepa que hay isleños con ojos azules.
B no puede asegurar que A sepa que hay isleños con ojos azules.
El resto de isleños ven que hay dos isleños con ojos azules y sabe lo que saben A y B.
 
No todos los isleños pueden asegurar que todos los isleños saben que al menos hay un isleño con ojos azules en la isla.
 
Como ocurre lo anterior sucede lo siguiente:
 
Ningún isleño puede deducir su propio color de ojos.
A y B no salen de la isla.
Ningún isleño espera que A y B salgan de la isla en solitario el primer día.
Ningún isleño espera que A y B salgan los dos al segundo día.
Todos los isleños saben que no saldrá ningún isleño de la isla en ninguna circunstancia.
 
El chivatazo:
 
Pone en conocimiento de A que B sabe que al menos hay un isleño con ojos azules.
Pone en conocimiento de B que A sabe que al menos hay un isleño con ojos azules.
 
Todos los isleños ya sabían, sin el chivatazo, que al menos hay un isleño con ojos azules en la isla. Con el chivatazo ahora también pueden asegurar que todos los isleños saben que al menos hay un isleño con ojos azules.
 
Después del chivatazo:
 
Todos los isleños siguen viendo la misma cantidad de isleños con ojos azules.
A puede asegurar que B sabe que hay isleños con ojos azules.
B puede asegurar que A sabe que hay isleños con ojos azules.
 
Todos los isleños pueden asegurar que todos los isleños saben que al menos hay un isleño con ojos azules.
 
Como ocurre lo anterior sucede lo siguiente:
 
A espera que B salga de la isla el primer día.
B espera que A salga de la isla el primer día.
El resto de isleños saben que ni A ni B saldrán de la isla el primer día y esperan que salgan los dos al segundo día.
Al no salir ni A ni B el primer día, A y B salen al segundo día.
Al salir A y B el segundo día, el resto de isleños deduce que el color de sus propios ojos es marrón.
 
CASO 3: TRES ISLEÑOS (A, B, C) CON OJOS AZULES.
 
Antes del chivatazo:
 
A, B y C ven dos isleños con ojos azules.
A sabe que es posible que B y C sean los únicos isleños con ojos azules.
B sabe que es posible que A y C sean los únicos isleños con ojos azules.
C sabe que es posible que A y B sean los únicos isleños con ojos azules.
A, B y C saben que es posible que los dos isleños con ojos azules que ve cada uno estén en el CASO 2.
Por lo anterior A, B y C saben que los isleños que están en el CASO 2 no pueden asegurar que todos los isleños sepan que al menos hay un isleño con ojos azules.
El resto de isleños ven tres isleños con ojos azules y sabe lo que saben A, B y C.
 
Todos los isleños no pueden asegurar que todos los isleños saben que al menos hay un isleño con ojos azules en la isla.
 
Como ocurre lo anterior sucede lo siguiente:
 
Ningún isleño puede deducir su propio color de ojos.
A, B y C no salen de la isla.
Ningún isleño espera que A, B y C salgan de la isla en solitario el primer día.
Ningún isleño espera que ninguna de las parejas A-B, A-C y B-C, salga el segundo día.
Ningún isleño espera que A, B y C salgan juntos el tercer día.
Todos los isleños saben que no saldrá ningún isleño de la isla en ninguna circunstancia.
 
El chivatazo:
 
Pone en conocimiento de A que B y C saben que al menos hay un isleño con ojos azules.
Pone en conocimiento de B que A y C saben que al menos hay un isleño con ojos azules.
Pone en conocimiento de C que A y B saben que al menos hay un isleño con ojos azules.
 
Todos los isleños ya sabían, sin el chivatazo, que al menos hay un isleño con ojos azules en la isla. Con el chivatazo ahora también pueden asegurar que todos los isleños saben que al menos hay un isleño con ojos azules.
 
Después del chivatazo:
 
Todos los isleños saben que ni A ni B ni C saldrán de la isla el primer día.
A espera que el segundo día salgan B y C.
B espera que el segundo día salgan A y C.
C espera que el segundo día salgan A y B.
El resto de isleños saben que ninguna de las parejas A-B, A-C y B-C, saldrán al segundo día y esperan que salgan los tres al tercer día.
Al no salir ninguna de las parejas A-B, A-C y B-C, al segundo día, A, B y C salen al tercer día.
Al salir A, B y C al tercer día, el resto de isleños deduce que el color de sus propios ojos es marrón.
 
REFLEXIÓN:
 
A partir de este caso, se puede pensar que el análisis de los siguientes casos será análogo y que la solución final es:
 
Si N es el número de habitantes de la isla con los ojos azules, con N entre 1 y 100 (1 ≤ N ≤ 100), se irán todos los de ojos azules, el mismo día, N noches después de que el visitante consiga que todos los isleños puedan asegurar que todos los isleños saben que al menos hay un isleño con ojos azules.
 
Pero eso sería obviar otras cuestiones muy determinantes que también conocen los isleños y que todos los isleños pueden saber usando la lógica y analizando los distintos casos.
 
TODOS LOS ISLEÑOS SABEN:
 
1. Que siendo N el número de isleños con ojos azules en la isla:
 
- Todos los isleños con ojos marrones ven N isleños con ojos azules.
- Todos los isleños con ojos azules ven N-1 isleños con ojos azules.
 
O lo que es lo mismo: que si un isleño ve N isleños con ojos azules, sabe que al menos hay N isleños que ven N-1 isleños con ojos azules y sabe que el isleño que ve menos isleños con ojos azules ve N-1.
También sabe que puede haber N+1 isleños con ojos azules.
 
2. El isleño que ve N isleños con ojos azules sabe:
 
- Que está en el Caso N ó en el N+1.
- Que los N isleños con ojos azules que ve creen que puede haber N-2 isleños con ojos azules.
 
3. Que para que todos los isleños puedan ver N isleños con ojos azules, en la isla tiene que haber N+1 isleños con ojos azules.
 
(Para que todos los isleños puedan ver 1 isleño con ojos azules, en la isla tiene que haber 2 isleños con ojos azules).
 
4. Que para que todos los isleños puedan asegurar que en la isla hay N isleños con ojos azules todos tienen que saber que al menos hay N+1 isleños con ojos azules.
 
(Para que todos los isleños puedan asegurar que en la isla hay al menos 2 isleños con ojos azules todos tienen que ver que al menos hay 3 isleños con ojos azules).
 
5. Que para que todos los isleños puedan asegurar que todos los isleños saben que hay N isleños con ojos azules en la isla al menos tiene que haber N+4 isleños con ojos azules en la isla.
 
COMPROBÉMOSLO:
 
¿Cuántos isleños con ojos azules tiene que ver un isleño para que pueda asegurar que todos los isleños ven al menos 1 isleño con ojos azules?
 
Los isleños que ven 1 isleño (A) con ojos azules (isleños con ojos marrones del Caso 1 e isleños con ojos azules del Caso 2):
 
- Saben que el isleño con ojos azules, A, puede no ver isleños con ojos azules.
 
Los isleños que ven 2 isleños (A, B) con ojos azules (isleños con ojos marrones del Caso 2 e isleños con ojos azules del Caso 3):
 
- Saben que los isleños con ojos marrones ven 2 isleños con ojos azules.
- Saben que los isleños con ojos azules (A y B) ven 1 isleño con ojos azules cada uno y no pueden ver menos de 1.
 
Respuesta a la pregunta: Para que un isleño pueda asegurar que todos los isleños ven al menos 1 isleño con ojos azules, tiene que ver 2 isleños con ojos azules.
 
Todos los isleños saben que si todos los isleños ven 2 isleños con ojos azules todos pueden asegurar que todos los isleños ven al menos un isleño con ojos azules.
 
¿Cuántos isleños tiene que haber en la isla para que todos puedan ver al menos 2 isleños con ojos azules?
 
Caso 3: 3 isleños con ojos azules en la isla:
 
- Los isleños con ojos marrones ven 3 isleños con ojos azules.
- Los isleños con ojos azules ven 2 isleños con ojos azules.
 
Respuesta a la pregunta: Cuando haya 3 isleños con ojos azules en la isla todos los isleños pueden ver al menos 2 isleños con ojos azules.
 
¿Cuántos isleños tiene que ver cada isleño para saber que está en el Caso 3?
 
Los isleños que ven 3 isleños (A, B, C) con ojos azules (isleños con ojos marrones del Caso 3 e isleños con ojos azules del Caso 4):
 
- Saben que los isleños con ojos marrones pueden asegurar que están al menos en el Caso 3.
- Saben que los isleños con ojos azules (A, B y C) son los isleños que ven menos isleños con ojos azules.
- Saben que los isleños con ojos azules (A, B y C) ven 2 isleños con ojos azules.
- Todos los isleños saben que los isleños con ojos azules (A, B y C) sólo pueden asegurar que están en el Caso 2.
- No todos los isleños pueden asegurar que están en el Caso 3.
 
Los isleños que ven 4 isleños (A, B, C, D) con ojos azules (isleños con ojos marrones del Caso 4 e isleños con ojos azules del Caso 5):
 
- Saben que los isleños con ojos marrones pueden asegurar que están al menos en el Caso 4.
- Saben que los isleños con ojos azules (A, B, C y D) son los isleños que ven menos isleños con ojos azules.
- Saben que los isleños con ojos azules (A, B, C y D) ven 3 isleños con ojos azules.
- Todos los isleños saben que los isleños con ojos azules (A, B y C) pueden asegurar que están en el Caso 3.
- Todos los isleños saben que todos los isleños están la menos en el Caso 3.
 
Respuesta a la pregunta: Cuando un isleño vea 4 isleños con ojos azules sabe que al menos está en el Caso 3.
 
¿Cuántos isleños tiene que haber en la isla para que todos los isleños puedan ver al menos 4 isleños con ojos azules y todos los isleños puedan asegurar que están en el Caso 3?
 
Caso 5: 5 isleños con ojos azules en la isla:
 
- Los isleños con ojos marrones ven 5 isleños con ojos azules.
- Los isleños con ojos azules ven 4 isleños con ojos azules.
 
Respuesta a la pregunta: Cuando en la isla haya 5 isleños con ojos azules, todos los isleños ven al menos 4 isleños con ojos azules y todos pueden asegurar que todos los isleños saben que están en el Caso 3.
 
En Resumen:
 
Si en la isla hay 5 isleños con ojos azules:
 
- Todos los isleños ven al menos 4 isleños con ojos azules.
- Todos los isleños pueden asegurar que todos los isleños saben que están al menos en el Caso 3.
- Todos los isleños pueden asegurar que todos los isleños pueden ver al menos dos isleños con ojos azules.
- Todos los isleños pueden asegurar que todos los isleños ven al menos un isleño con ojos azules.
 
Recordemos:
 
El chivatazo ponía en conocimiento de los isleños dos cosas:
 
1. Que había isleños con ojos azules en la isla, conocimiento que solo necesita el isleño con ojos azules en el caso de un solo isleño con ojos azules en la isla y que sólo resuelve el problema si sólo hay un isleño con ojos azules en la isla.
 
2. Que todos los isleños pueden asegurar que todos los isleños saben que hay al menos un isleño con ojos azules en la isla, conocimiento que resuelve el problema en los casos de que haya dos o más isleños con ojos azules en la isla, casos, todos ellos, en los que todos los isleños ya saben que había isleños con ojos azules en la isla.
 
Y acabamos de comprobar que a partir de que haya 5 isleños con ojos azules en la isla ya no hace falta ningún chivatazo para que todos los isleños puedan asegurar que todos los isleños saben que hay isleños con ojos azules en la isla.
 
Solución al problema lógico:
 
Si el chivato llega a la isla y todavía quedan isleños con ojos azules en la isla pueden ocurrir dos casos:
 
1. Que, desde la entrada en vigor de la ley que obliga a los isleños que averigüen que tienen los ojos azules a abandonar la isla, hubiera menos de 5 isleños con ojos azules:
 
El chivatazo desencadena la salida de los isleños por el procedimiento que ya conocemos pero con N entre 1 y 4:
 
Si N es el número de habitantes de la isla con los ojos azules, con N entre 1 y 4 (1 ≤ N ≤ 4), se irán todos los de ojos azules, el mismo día, N noches después de la llegada del visitante.
 
O lo que es lo mismo: si hubiera un isleño con ojos azules en la isla saldría él sólo al día siguiente del chivatazo; si hubiera dos isleños con los ojos azules en la isla, el primer día no saldría ninguno y saldrían los dos al segundo día; si hubiera tres isleños con los ojos azules en la isla, el primer y segundo día no saldría ninguno de la isla y saldrían los tres al tercer día; y si hubiera cuatro isleños con los ojos azules en la isla, el primer, el segundo y el tercer día no saldría ninguno, y saldrían los cuatro el cuarto día.


2. Que, desde la entrada en vigor de la ley que obliga a los isleños que averigüen que tienen los ojos azules a abandonar la isla, hubiera 5 isleños con ojos azules o más de 5 isleños con ojos azules:
 
El chivato ha llegado en medio del proceso de salida, proceso que todavía no habría concluido, porque al concluir dicho proceso no queda ningún isleño de ojos azules en la isla por lo que el visitante no podría haber visto ninguno.

Dicho proceso sigue el mismo orden que ya conocemos, pero con N entre 5 y 100:

Si N es el número de habitantes de la isla con los ojos azules, con N entre 5 y 100 (5 ≤ N ≤ 100), se irán todos los de ojos azules, el mismo día, N noches después de la entrada en vigor de la ley, y el visitante habría llegado a la isla antes de que pasasen esas N noches.
 
Salú y República.